수학 책

Books

이토록 재미있는 수학이라니 2020

  • p10. 이 책에도 ‘수학책에 공식이 하나 더 추가되면 판매량이 반으로 줄어든다’는 얘기가 나온다. 또 다른 중국서인가 했는데 바로 아래 『다시, 수학이 필요한 순간』에서 한 얘기다.
  • 첫 시작은 메르센 소수로.
  • 소파상수 같은 유난히 기하학이 많이 나온다. 재미있으면서 직관적이고 이해하기도 쉬운 분야라 그런듯.
  • 벤포드 법칙
  • 단순히 RSA의 수학적 성질뿐만 아니라 https 전체 적용 원리에 대해 다룬다. 일반적인 수학책이라면 RSA에서 끝났어야 하는데, 이 부분은 오히려 IT 전문 서적에 가깝다.
  • 알파고는 전형적인 바둑AI의 역사와 강화학습의 원리를 다룬다.
  • 전반적으로 수학의 신비한 성질을 다루며, 난이도가 제법 높은 편이다.

세계 수학 걸작선 2017, 2019

  • p110. 정신나간 모자 보관소 직원, 푸아송 분포의 37%가 여기서도 보인다. 관람객의 수가 N명일때, 랜덤으로 모자를 둘려줄때 아무도 자기 모자를 되돌려 받지 못할 확률은 N이 얼마든 간에 37%다. \(\frac{1}{e}\)
  • p312. ‘쌍곡기하학’을 얘기하면서 유클리드 공리 5가지를 소개한다.

다시, 수학이 필요한 순간 2020

  • p10. 스티븐 호킹은 『시간의 역사』에서 이렇게 말한다. ‘출판사에서 지적하기를 공식 하나 나올 때마다 판매량은 반으로 줄어든다고 했다. 그래서 공식을 하나도 안 넣기로 마음먹었다.’
  • p31. 컴퓨터가 기하적 계산을 하는데 공식이 필요하다. 모든 기하학적인 관심사를 수로 바꿔야 한다. 컴퓨터는 그림을 볼 수 없기 때문.
  • p34. 공리 axiom 강조. 책 전반에 공리를 지속적으로 강조
  • p43. 관찰을 정제해가는 과정에서 운동법칙이라는 공리가 만들어졌을 것이며, 수학적 공리도 이와 비슷한 과정을 거친다.
  • p50. 뉴턴의 프린키피아나 유클리드의 원론이 비슷한 점은 바로 거기 나오는 수학이 거의 기하학밖에 없다는 점이다. 뉴턴이 기하학적으로 이론을 펼친 이유는 기하학만이 믿을 수 있는 수학이라고 생각했기 때문인듯 하다.
  • p63. \(\sqrt{2}\) 피타고라스는 유리수일 수 없는 무리수의 존재가 너무 충격적이었던 나머지, 이를 발견한 히파수스 Hippasus라는 제자를 죽였다고 한다.
  • p77. 제논의 역설: 궁수가 과녁을 향해 화살을 쐈다. 화살이 과녁에 도달하려면 먼저 반을 나가야 한다. 그리고 또 반의 반을 나가야 하고, 반의 반의 반을 나가야 하고 … 그래서 화살은 ‘영원이 도달할 수 없다’
  • p111. 칸트 역시 확실성에 대한 집착이 굉장히 강했던 것 같다. 그는 뉴턴역학도 선험적이라고 주장했다. 세상의 물체들이 어떻게 움직이는가를 공부하는데 지금 생각하면 말이 되지 않지만. (뉴턴이 이 이론을 기술한 양식이 공리 체계 같았고 기하학적으로 증명했기 때문에 선험적이라는 생각을 한 것일 수도 있다) 무엇보다 수학도 확실하지 않으면 확실성이 아무데도 없을 것 같다는 일종의 두려움이 있지 않았나 생각한다.
  • p115. 『괴델, 에셔, 바흐』 개정판(초판은 1979년작) 서문에서 호프스태터는 최근 인공지능 연구가 인간의 의식에 관한 근본적인 질문들은 모두 잊어버린 채 기능적으로만 개발, 진행되고 있는 현실에 불만을 표했다. 하지만 인공지능 연구는 지난 몇 십 년 동안 공학 분야에서 훨씬 큰 성과를 거두었다. 이것이 바로 지능을 이해하려는 과학자와 지능을 만들어내려는 공학자의 차이를 보여주는 듯 하다. 호프스태터처럼 기본적인 질문을 하는 사람들도 있고, 기본적인 건 잊어버리고 창조적인 일을 하는 사람들도 있는 것이다.

4강 논리적 사고

  • 삼단 논법을 비롯한 논리에 대해서도 고찰

5강 함수

  • p204. 좌표 coordinate란 무엇인가. 좌표는 페르마와 르네 데카르트 Rene Decaretes가 만든 표현법으로 “나는 생각한다, 고로 존재한다”는 명언을 남긴 “방법서설 Discourds de la Methode“라는 책의 부록에 처음 등장. 좌표의 발명은 인류의 역사와 수학사에서 매우 중요한 사건이었다. 기하학을 언어로 명료하게 표현할 수 있는 개념적 틀이기 때문이다.

6강 수 없이 계산하기

  • p253. 평면이나 공간상의 점들을 화살표로 생각할 때 이를 ‘벡터’라고 부른다. 원점이 주어진 상태에서는 점(Point?)과 화살표가 지닌 정보가 동일하다.

7강 차원이 다른 정보들

  • 소리는 파동이다. 주파수로 분석하는 것에 대한 얘기들

8강 우주의 모양을 찾는 방정식

  • 현실에 존재하지 않는 모양을 구성하는
  • p352. 상대성이론의 영향을 받은 또 다른 예술가로 그리스 작곡가 이안니스 크세나키스 Iannis Xenakis를 들 수 있다. 작곡할때 확률론을 굉장히 많이 사용했다.
  • p362. 현대 수학에서는 좌표를 이용해 기하학을 수로 표현하는 것이 굉장이 중요하다. 컴퓨터 때문이다.

9강 수학으로 세상을 본다는 것

  • p389. 피타고라스 시대에 맞이하게 된 대수의 위기 “모든 것이 수”라고 설명하려던 노력이 수포로 돌아가자 대수 체계의 위기를 맞게 되고, 그 이후 수학적인 사고를 기하적으로 설명하고자 하는 추세가 지배적이 되었다. 그러다 17세기 기하를 대수적으로 바꾸어가는 과정이 체계적으로 진행되었고 시간이 흘러 지금은 대수적인 파운데이션이 수학의 주류를 이루고 있다.
  • 기하와 대수의 정의는 아날로그와 디지털의 정의로 치환할 수 있을지? 실제로 김민형 교수님 강의 중 기하와 대수 어느것이 먼저인가?와 같은 강의도 있다.

세계를 바꾼 17가지 방정식

아래 내용은 수학 보다는 공학에 관한 내용들이라 추후 정리가 필요하다.

  • 푸리에 변환
    가장 일반적인 형태에서, 푸리에 방법은 가능한 모든 진동수의 파동들을 조합한 함수 f를 가지는 신호를 나타낸다. 이것은 파동의 ‘푸리에 변환Fourier transform‘이라고 불린다. 푸리에 변환은 원래 신호를 그 스펙트럼, 즉 사인 성분 함수와 코사인 성분 함수의 진폭들과 진동수들로 대체한다. 이는 동일한 정보를 다르게 부호화하는 작업으로, 공학자의 말을 빌리면 시간 영역에서의 신호를 진동수 영역의 신호로 변환하는 과정이라고 할 수 있다.

  • 맥스웰 방정식
    영국의 물리학자 마이클 패러데이는 전자기의 기초 물리학을 건설했고, 스코틀랜드 과학자 클러크 맥스웰은 패러데이의 역학 이론에서 유도한 수학 방정식을 사용해 빛의 속도로 여행하는 전파radio wave의 존재를 예측했다. 맥스웰은 패러데이가 전자기 유도의 발견을 발표한 바로 그해 1831년에 태어났다.

빛은 전자기파이며, 서로 다른 파장을 지닌 파동이다. 전체 전자기파 중에서 가시광선에 해당되는 파장은 인간의 눈으로도 감지할 수 있다.

독일의 과학자 하인리히 헤르츠는 1886년 전파를 생성하고 수신할 수 있는 기계를 만들어 전자기파를 탐지하는데 성공했으나 당시에는 라디오, 텔레비전, 레이다, 무선, 엑스선, 마이크로파 등으로 이어질 유용함을 알아차리지 못했다.

  • 상대성 이론
    \(E=mc^2\)

물질의 에너지는 질량에 빛의 속도의 제곱을 곱한 것과 같다.

보통 사람을 위한 현대 수학

  • 움직임 없는 운동
    기하학에 대한 설명. 피타고라스의 정리도 기하로 표현하면 누구나 이해하기 쉽도록 직관적으로 증명할 수 있다. 그러나, 유클리드는 그림보다 대수적 논리를 선호했다. 엄밀한 논리로 이루어진 몇 개의 단순한 원리로부터 기하학을 구축하고 싶었기 때문.
  • 고급 연산으로 가는 지름길
    수체계와 모듈라 연산
  • 집합의 언어
    집합과 벤다이어그램. 집합론과 논리학은 불가분의 관계에 있다.
  • 함수란 무엇인가?
    \(y=f(x)\) 정의역, 공역, 치역과 전사 함수, 단사 함수 등 이산수학에서도 다루는 함수의 여러 개념을 소개한다.
  • 추상대수학, 대칭과 군, 수 헤아리기: 유한과 무한, 위상수학, 위상불변량, 대수적 위상수학, 초공간
    해당 챕터는 개인적으로 관심있는 분야가 아니며, 관련 지식이 부족하다 보니 이해하기 어렵다. 추상대수학에서는 체,군,합동 등을 소개한다. 수 헤아리기는 경우의 수 number of cases를 예상했으나 함수, 무한연산 등 다소 상이한 내용을 다룬다.
  • 공리
    수학은 ‘공리에 기초한 체계 axiomatics system‘이며, 유클리드의 『Elements』 원론에 등장한 기하학 공리가 유명하다.
  • 간접적 사고의 위력
    그래프 이론을 다루며, 4색 문제를 언급한다.
  • 선형대수
    연립 방정식을 기하학적으로 해석해 풀이할 수 있다. 영국의 수학자 아서 케일리(1821 ~ 1895)는 선형변환을 수학적으로 표현하는 좋은 방법을 개발했다. 행렬이다.
  • 실해석학
    현대수학의 주춧돌로 무한급수와 극한, 미분, 적분과 같은 ‘무한대 처리법’으로 요약된다. 수학에서 온갖 어려움을 양산하는 무한대의 유령을 포획하여 길들이는 것, 이것이 바로 해석학에 주어진 임무이다.
  • 확률이론
    확률의 이항정리 binomial theorem는 뉴턴이 발견했다. 이항정리를 더욱 강력한 형태로 표현한 대수의 법칙은 수학적 모형과 현실적 확률 사이의 관계를 보여주고 있다.
  • 컴퓨터와 응용
    2진 표기법과 논리 회로 설계를 비유하여 설명한다. 여기서는 볼베어링 덧셈 계산기를 진리표를 작성해 만들어 본다. 컴퓨터 구조와 순서도를 소개한다.
  • 현대수학의 응용
    17세기에 데카르트가 기하학과 대수학의 관계를 최초로 발견했을때 수학자들은 커다란 충격을 받았고, 19세기 초에 프랑스의 젊은 수학자 갈루아가 군론을 이용해 다항방정식을 풀었을 때에도 수학자들은 경악을 금치 못했다. 또한 20세기 초에 자크 아다마르와 샤를장 드 라 발레푸생이 해석학을 이용해 소수에 관한 추론을 증명했을 때에도 수학계는 한바탕 충격에 휩싸였다. 선형 프로그래밍으로 수리경제학 문제 풀이가 가능하다.

수학 공부의 재구성 2019

문장 문제는 무조건 건너 뛰라고 조언한다. 수학적 함양을 기르는데 도움이 되지 않는다는 이유다. 하지만 실생활에 유용한 수학이라는 측면에서는 오히려 절대로 건너 뛰어서는 안되는 문제들이다. 실생활에서 수학은, 문제가 이미 정의되어 있기 보다는 문장을 정의하는데서 부터 시작하는 경우가 대부분이기 때문이다.

Last Modified: 2020/12/26 03:45:21


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