수학

대수학

  • 선형대수학

    선형대수학은 방정식, 정확히는 연립일차방정식 system of linear equations을 푸는 방법과 그에 관련된 이론을 연구하는 학문이다. 선형은 일차식을 뜻하며, 대수는 기호를 조작하여 답을 구하는 방법을 뜻한다. 그러나 현대적 의미의 선형대수학은 크게 세 가지 이론이 융합되어 있다고 할 수 있다. 첫째, 선형대수학의 역사적 근원이기도 한 연립일차방정식의 해법. 둘째, 행렬의 조작. 셋째, 추상적인 벡터공간의 이론이다. (8일간의 선형대수학, 2014)

  • 현대대수학(추상대수학 abstract) 군론, 환론 group, ring
  • 불 대수

대수학은 수학 기호와 이 기호를 조작하기 위한 규칙을 연구한다. (Wikipedia)

  • 대수
    • 절댓값absolute value, 항, 집합, 분수fraction, 비례법
    • 실수real number, 일차방정식linear equation, 부등식inequality, 퍼센트, 소수prime number
    • 역함수inverse function, 연립일차방정식system of linear equations, 제곱근square root, 이차방정식quadratic equation
    • 이차함수quadratic function, 무리방정식irrational equation, 로그, 지수, 복소수complex number
  • 선형대수학
    • 벡터, 일차결합linear combination, 벡터의 내적inner product, 벡터공간
    • 일차변환, 행렬

(누구나 수학, 2018)

점곱dot product, 내적

often called inner product (or rarely projection product), scalar product스칼라곱

대수적 정의Algebraic definition

두 벡터간 내적은 아래와 같이 정의된다.

기하학적 정의Geometric definition

두 벡터가 반대 방향(180도)이면 내적은 최솟값이고, 같은 방향일때 최댓값이다.

로그

(source)

x = 0 일때 기울기가 45도

점화식

점화식Recurrence relation은 n번째의 항을 이전에 나온 항들로 나타내는 공식으로 나타나고, 이 점화식을 만족하는 수열 Sequence은 초기값에 따라 유일하게 결정된다. 이렇게 수열을 정의하는 것을 수열의 귀납적 정의(recursive definition)라 한다. (나무위키)
컴퓨터 과학에서 재귀 Recursion로 표현한다.

해석학

해석학은 대수학과 기하학에 대하여, 미분과 적분을 기초로 함수의 연속성에 관한 성질을 연구하는 수학의 분야이다.

  • 수열sequence, 무한급수infinite series, 도함수derivative, 적분integral

(누구나 수학, 2018)

미적분Calculus

  • derivative 도함수
    • 도함수란 각 점에 대해 그 점에서의 미분계수differential coefficient를 대응시키는 함수를 말하고, 미분계수는 그 점에서의 기울기, 즉 순간변화율이다.

미분하면 도함수가 나온다. Sympy 계산 참고

  • 미분 differential calculus + 적분 integral calculus = 미적분 calculus
  • integral은 summation과 매우 유사하다. 차이점은 sum이 유한 갯수의 합이라면, integral은 무한 갯수의 합이다. (미적분학 갤러리, 2011)

미적분에서 체인룰(연쇄 법칙)은 둘 이상의 합성 함수(composite functions)의 미분을 계산하는 수식이다.

기하학

  • 유클리드의 정리
  • 사각형, 원, 다각형, 각, sin-cos-tan
  • 원기둥, 구, 각기둥, 직육면체

(누구나 수학, 2018)

포물선 Parabola

  • F: focus 초점
  • g: directrix 준선
  • l: axis of symmetry 축
  • A: vertex 꼭짓점

정수론

수론 알고리즘Number-theoretic algorithms

  • 에라토스테네스의 체Sieve of Eratosthenes
    소수를 찾는 방법으로 고대 그리스 수학자 에라토스테네스의 방법. 첫 소수인 2에서 시작하여 각 소수의 배수를 체를 거르듯 걸러낸다.

기타

수학 기호

등호equals sign는 로버트 레코드Recorde, Robert가 1557년에 처음 선보였다. 그 기호를 쓴 것은 “세상에서 그 두 선만큼 똑같은 것은 없기”때문이었다. 이후 등호는 450년이 넘도록 사용되고 있다. (세계를 바꾼 17가지 방정식, 2011) The original form of the symbol was much wider than the present form. In his book Recorde explains his design of the “Gemowe lines” (라틴어로 ‘쌍둥이 선’의 뜻).

Map of Mathematics

Map of Mathematics Poster

유튜브 해설

확률과 통계

  • 확률, 베이즈의 정리, 베르누이 시행
  • 큰 수의 법칙, 순열permutation과 조합combination, 통계학
  • 기술통계학, 회귀분석과 상관관계

(누구나 수학, 2018)

확률의 논리곱, 논리합

  • 논리곱logical conjunction
    그렇다면, 도 마찬가지로 성립하는거 아닌지?

  • 논리합logical disjunction

세계를 바꾼 17가지 방정식

아래 내용은 수학 보다는 공학에 관한 내용들이라 추후 정리가 필요하다.

  • 푸리에 변환
    가장 일반적인 형태에서, 푸리에 방법은 가능한 모든 진동수의 파동들을 조합한 함수 f를 가지는 신호를 나타낸다. 이것은 파동의 ‘푸리에 변환Fourier transform‘이라고 불린다. 푸리에 변환은 원래 신호를 그 스펙트럼, 즉 사인 성분 함수와 코사인 성분 함수의 진폭들과 진동수들로 대체한다. 이는 동일한 정보를 다르게 부호화하는 작업으로, 공학자의 말을 빌리면 시간 영역에서의 신호를 진동수 영역의 신호로 변환하는 과정이라고 할 수 있다.

  • 맥스웰 방정식
    영국의 물리학자 마이클 패러데이는 전자기의 기초 물리학을 건설했고, 스코틀랜드 과학자 클러크 맥스웰은 패러데이의 역학 이론에서 유도한 수학 방정식을 사용해 빛의 속도로 여행하는 전파radio wave의 존재를 예측했다. 맥스웰은 패러데이가 전자기 유도의 발견을 발표한 바로 그해 1831년에 태어났다.

빛은 전자기파이며, 서로 다른 파장을 지닌 파동이다. 전체 전자기파 중에서 가시광선에 해당되는 파장은 인간의 눈으로도 감지할 수 있다.

독일의 과학자 하인리히 헤르츠는 1886년 전파를 생성하고 수신할 수 있는 기계를 만들어 전자기파를 탐지하는데 성공했으나 당시에는 라디오, 텔레비전, 레이다, 무선, 엑스선, 마이크로파 등으로 이어질 유용함을 알아차리지 못했다.

  • 상대성 이론

물질의 에너지는 질량에 빛의 속도의 제곱을 곱한 것과 같다.

보통 사람을 위한 현대수학

  • 움직임 없는 운동
    기하학에 대한 설명. 피타고라스의 정리도 기하로 표현하면 누구나 이해하기 쉽도록 직관적으로 증명할 수 있다. 그러나, 유클리드는 그림보다 대수적 논리를 선호했다. 엄밀한 논리로 이루어진 몇 개의 단순한 원리로부터 기하학을 구축하고 싶었기 때문.
  • 고급 연산으로 가는 지름길
    수체계와 모듈라 연산
  • 집합의 언어
    집합과 벤다이어그램. 집합론과 논리학은 불가분의 관계에 있다.
  • 함수란 무엇인가?
    정의역, 공역, 치역과 전사 함수, 단사 함수 등 이산수학에서도 다루는 함수의 여러 개념을 소개한다.
  • 추상대수학, 대칭과 군, 수 헤아리기: 유한과 무한, 위상수학, 위상불변량, 대수적 위상수학, 초공간
    해당 챕터는 개인적으로 관심있는 분야가 아니며, 관련 지식이 부족하다 보니 이해하기 어렵다. 추상대수학에서는 체,군,합동 등을 소개한다. 수 헤아리기는 경우의 수 number of cases를 예상했으나 함수, 무한연산 등 다소 상이한 내용을 다룬다.
  • 공리
    수학은 ‘공리에 기초한 체계 axiomatics system‘이며, 유클리드의 『Elements』 원론에 등장한 기하학 공리가 유명하다.
  • 간접적 사고의 위력
    그래프 이론을 다루며, 4색 문제를 언급한다.
  • 선형대수
    연립 방정식을 기하학적으로 해석해 풀이할 수 있다. 영국의 수학자 아서 케일리(1821 ~ 1895)는 선형변환을 수학적으로 표현하는 좋은 방법을 개발했다. 행렬이다.
  • 실해석학
    현대수학의 주춧돌로 무한급수와 극한, 미분, 적분과 같은 ‘무한대 처리법’으로 요약된다. 수학에서 온갖 어려움을 양산하는 무한대의 유령을 포획하여 길들이는 것, 이것이 바로 해석학에 주어진 임무이다.
  • 확률이론
    확률의 이항정리 binomial theorem는 뉴턴이 발견했다. 이항정리를 더욱 강력한 형태로 표현한 대수의 법칙은 수학적 모형과 현실적 확률 사이의 관계를 보여주고 있다.
  • 컴퓨터와 응용
    2진 표기법과 논리 회로 설계를 비유하여 설명한다. 여기서는 볼베어링 덧셈 계산기를 진리표를 작성해 만들어 본다. 컴퓨터 구조와 순서도를 소개한다.
  • 현대수학의 응용
    17세기에 데카르트가 기하학과 대수학의 관계를 최초로 발견했을때 수학자들은 커다란 충격을 받았고, 19세기 초에 프랑스의 젊은 수학자 갈루아가 군론을 이용해 다항방정식을 풀었을 때에도 수학자들은 경악을 금치 못했다. 또한 20세기 초에 자크 아다마르와 샤를장 드 라 발레푸생이 해석학을 이용해 소수에 관한 추론을 증명했을 때에도 수학계는 한바탕 충격에 휩싸였다. 선형 프로그래밍으로 수리경제학 문제 풀이가 가능하다.

수학을 왜 배워야 하는가?

교육이란 학교에서 배운 모든 것을 다 잊어버린 후에, 자신의 내면에 남는 것을 말한다. 그리고 그 힘을 사회가 직면하는 모든 문제를 해결하는 데 사용하기 위해 스스로 생각하고 행동할 수 있는 인간을 만드는 것이다.

아인슈타인 (수학력, 2014)


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