수학

수학 기호

등호equals sign는 로버트 레코드Recorde, Robert가 1557년에 처음 선보였다. 그 기호를 쓴 것은 “세상에서 그 두 선만큼 똑같은 것은 없기”때문이었다. 이후 등호는 450년이 넘도록 사용되고 있다. (세계를 바꾼 17가지 방정식, 2011) The original form of the symbol was much wider than the present form. In his book Recorde explains his design of the “Gemowe lines” (라틴어로 ‘쌍둥이 선’의 뜻).

  • 허수Imaginary Numbers
  • 소수Prime Number
  • 쌍둥이 소수Twin Prime
    두 수의 차가 2인 소수의 쌍. 즉,
  • 메르센 소수 Mersenne number
    p가 소수이고, 이 소수일때
  • 유리수 rational numbers
  • 무리수 irrational numbers

수론 알고리즘Number-theoretic algorithms

  • 에라토스테네스의 체Sieve of Eratosthenes
    소수를 찾는 방법으로 고대 그리스 수학자 에라토스테네스의 방법. 첫 소수인 2에서 시작하여 각 소수의 배수를 체를 거르듯 걸러낸다.

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유튜브 해설

로그

(ref)

x = 0 일때 기울기가 45도

확률의 논리곱, 논리합

  • 논리곱logical conjunction

  • 논리합logical disjunction

미적분Calculus

  • derivative 도함수
    • 도함수란 각 점에 대해 그 점에서의 미분계수differential coefficient를 대응시키는 함수를 말하고, 미분계수는 그 점에서의 기울기, 즉 순간변화율이다.

미분하면 도함수가 나온다. Sympy 계산 참고

  • 미분 differential calculus + 적분 integral calculus = 미적분 calculus
  • integral은 summation과 매우 유사하다. 차이점은 sum이 유한 갯수의 합이라면, integral은 무한 갯수의 합이다. (미적분학 갤러리, 2011)

미적분에서 체인룰(연쇄 법칙)은 둘 이상의 합성 함수(composite functions)의 미분을 계산하는 수식이다.

점곱dot product, 내적

often called inner product (or rarely projection product), scalar product스칼라곱

대수적 정의Algebraic definition

두 벡터간 내적은 아래와 같이 정의된다.

기하학적 정의Geometric definition

두 벡터가 반대 방향(180도)이면 내적은 최솟값이고, 같은 방향일때 최댓값이다.

세계를 바꾼 17가지 방정식

  • 푸리에 변환
    가장 일반적인 형태에서, 푸리에 방법은 가능한 모든 진동수의 파동들을 조합한 함수 f를 가지는 신호를 나타낸다. 이것은 파동의 ‘푸리에 변환Fourier transform‘이라고 불린다. 푸리에 변환은 원래 신호를 그 스펙트럼, 즉 사인 성분 함수와 코사인 성분 함수의 진폭들과 진동수들로 대체한다. 이는 동일한 정보를 다르게 부호화하는 작업으로, 공학자의 말을 빌리면 시간 영역에서의 신호를 진동수 영역의 신호로 변환하는 과정이라고 할 수 있다.

  • 맥스웰 방정식
    영국의 물리학자 마이클 패러데이는 전자기의 기초 물리학을 건설했고, 스코틀랜드 과학자 클러크 맥스웰은 패러데이의 역학 이론에서 유도한 수학 방정식을 사용해 빛의 속도로 여행하는 전파radio wave의 존재를 예측했다. 맥스웰은 패러데이가 전자기 유도의 발견을 발표한 바로 그해 1831년에 태어났다.

빛은 전자기파이며, 서로 다른 파장을 지닌 파동이다. 전체 전자기파 중에서 가시광선에 해당되는 파장은 인간의 눈으로도 감지할 수 있다.

독일의 과학자 하인리히 헤르츠는 1886년 전파를 생성하고 수신할 수 있는 기계를 만들어 전자기파를 탐지하는데 성공했으나 당시에는 라디오, 텔레비전, 레이다, 무선, 엑스선, 마이크로파 등으로 이어질 유용함을 알아차리지 못했다.

  • 상대성 이론

물질의 에너지는 질량에 빛의 속도의 제곱을 곱한 것과 같다.

누구나 수학

  • 기하
    • 유클리드의 정리
    • 사각형, 원, 다각형, 각, sin-cos-tan
    • 원기둥, 구, 각기둥, 직육면체
  • 대수
    • 절댓값absolute value, 항, 집합, 분수fraction, 비례법
    • 실수real number, 일차방정식linear equation, 부등식inequality, 퍼센트, 소수prime number
    • 역함수inverse function, 연립일차방정식system of linear equations, 제곱근square root, 이차방정식quadratic equation
    • 이차함수quadratic function, 무리방정식irrational equation, 로그, 지수, 복소수complex number
  • 선형대수학
    • 벡터, 일차결합linear combination, 벡터의 내적inner product, 벡터공간
    • 일차변환, 행렬
  • 확률과 통계
    • 확률, 베이즈의 정리, 베르누이 시행
    • 큰 수의 법칙, 순열permutation과 조합combination, 통계학
    • 기술통계학, 회귀분석과 상관관계
  • 해석학analysis 해석학은 대수학과 기하학에 대하여, 미분과 적분을 기초로 함수의 연속성에 관한 성질을 연구하는 수학의 분야이다.
    • 수열sequence, 무한급수infinite series, 도함수derivative, 적분integral

넘버스

수학에 관한 재밌는 에피소드가 등장한다. 그 중 일부만 정리해본다.

  • 야간병동의 수상한 죽음들
    통계보다 훨씬 더 많은 수의 환자가 죽는 것을 통해 죽음의 천사의 존재를 밝혀내다.
  • 데이터 마이닝
    decision tree로 테러리스트를 구분했고, 신용카드 사기 검출을 위해 신경망을 이용했다. 얼굴 인식에도 신경망을 이용한다.
  • DNA 프로파일링
    DNA의 복잡함. approximation algorithm을 이용했다.
  • 법정에 선 수학
    독립확률의 계산 방법. 반드시 독립일때만 곱사건이다.
  • 카지노에서의 수 싸움
    카드 카운팅을 발명한 에드워드 소프. 경우의 수 number of cases에서 카드 카운팅은 계산하기가 조금 복잡한 편.

수학을 왜 배워야 하는가?

교육이란 학교에서 배운 모든 것을 다 잊어버린 후에, 자신의 내면에 남는 것을 말한다. 그리고 그 힘을 사회가 직면하는 모든 문제를 해결하는 데 사용하기 위해 스스로 생각하고 행동할 수 있는 인간을 만드는 것이다. - 아인슈타인 (수학력, 2014)


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