수학 책

• 공학도를 위한 수치해석 2016, 2016
• 다정한 수학책 2020, 2024
• 파이썬으로 다시 배우는 핵심 고등 수학 2018, 2019
• x의 즐거움 2012, 2014
• 최상위권 수학머리 만들기 2022
• 아인슈타인이 괴델과 함께 걸을 때 2018, 2020
• 미적분의 쓸모 2021
• 뉴욕타임스 수학 2013, 2017
• 수학이 만만해지는 책 2018, 2021
• 이토록 재미있는 수학이라니 2020
• 세계 수학 걸작선 2017, 2019
• 다시, 수학이 필요한 순간 2020
• 세계를 바꾼 17가지 방정식
• 보통 사람을 위한 현대 수학
• 수학 공부의 재구성 2019

공학도를 위한 수치해석 ^{2016, 2016}

★★★☆☆
초판은 20년 전에 나온 수치해석 책이다. 수치해석 Numerical Analysis란 수학적인 문제로 표현될 수 있는 문제를 궁극적으로 컴퓨터를 이용해 해결하고자 하는 수학의 실질적인 응용분야를 말한다. 책에서는 먼저 컴퓨터를 사용하지 않고 풀이하는 방법과 excel과 matlab을 이용한 풀이법을 소개한다. 요즘은 jupyter notebook, 방정식은 sympy로 풀이할 수 있겠다.

• p89 1차 도함수를 근사적으로 구하기 위한 전진, 후진, 중심유한제차분 근사의 도식적 묘사. 원래 미분 설명에 이 그림 인용을 so에서 봤다.
• floating point 원리도 설명

확인할 것

• Taylor 급수
  • 오차 해석 analysis of error
• P-value 정의

다정한 수학책 ^{2020, 2024}

★★★☆☆
“이상한 수학책”과 비슷한(하지만 그렇게 일러스트가 많지는 않은) 매우 쉬운 수학 교양 서적이다. 장단점도 비슷하다. 매우 쉽지만 상대적으로 깊이가 얕은 점이 아쉽다.

• p9 “인간 세상이 나를 위로해줄 것이 하나도 없다고 느낄 때면 수학과 별이 나를 위로해준다” - 버트런드 러셀

파이썬으로 다시 배우는 핵심 고등 수학 ^{2018, 2019}

★★★☆☆

• p34. 부동소수점: 컴퓨터의 세계에서는 .을 사용할 수 없다. 대신 지수를 사용해 값을 표현한다. 10진수 0.1을 2진수로 변환하면 0.000110011001100...과 같이 숫자가 영원히 계속되는 값이 된다.
• p312. 이미지의 윤곽을 추출할 때 미분으로 색의 변화가 급격히 큰 곳을 찾아내 경계라고 판단하다.

x의 즐거움 ^{2012, 2014}

★★★☆☆
재밌는 교양 수학책으로 기본적인 수학의 원리에 대해 소개한다. 개인적으로는 좀 더 구체적인 내용을 원하나 많은 부분이 생략되어 있고, 지나치게 쉬운 개념 소개에 그치는 점은 아쉬운 부분이다. 직관적인 수학의 이해를 중시하는 책인만큼 기하학에 대한 얘기가 많이 등장한다.

• p102. 기하로 2차 방정식 풀이
  
  • 정사각형을 완성하는 방법으로 ‘모든’ 이차방정식을 풀 수 있다. 음수 해를 제외하고.
• p116. 나는 여러분이 고등학교 때 여러 수학 분야 중 가장 좋아한 것이 무엇인지 알아맞힐 수 있다. 그것은 틀림없이 기하학이었을 것이다.
• p160. 극한을 이용해 원의 넓이를 구하는 방식
  
• p188. 무한급수 e 수식
  
• p194. 최선의 상대를 만날 확률은 \(\frac{1}{e}\)이 된다. optimal stop 37%
• p210. 맥스웰이 알려진 전기와 자기의 성질을 이용해 이 가상 전자기파의 속도를 계산해보았더니, 그 결과는 초속 약 30만 km/s로 나왔다. 이것은 10년 전에 프랑스 물리학자 히폴리트 피조 Hippolyte Fizeau가 측정한 빛의 속도와 같은 것이었다. 맥스웰은 서로 아무 관련이 없어 보이던 세 가지 현상(전기, 자기, 빛)을 하나로 통일했다.
• p218. 오케이큐피드에 가입한 사람들은 특별히 키가 크거나 자신을 소개할 때 키를 5cm쯤 과장했거나 둘 중 하나일 것이다.
• p224. 물을 주지 않으면 식물이 죽을 확률 90%, 물을 제대로 주더라도 죽을 확률 20%, 친구가 물 주는 것을 잊어버릴 확률 30%. 그렇다면 식물이 죽었을 때 친구가 물 주는 것을 잊어버렸을 확률은? 책에서는 정답을 계산하지 않는데, 베이즈룰에 따른 조건부확률은 1.35가 나와서 조금 이상하다.
• p296. 무한은 짝수인가, 홀수인가? 무한은 우리가 흔히 생각하는 수가 아니며, 산술의 규칙도 따르지 않는다고 말했다. 만약 무한이 산술의 규칙을 따른다면, 온갖 종류의 모순이 생겨나게 될 것이다. 만약 무한이 홀수라면, 무한에 2를 곱한 것은 짝수가 되겠죠. 하지만 둘 다 무한이지요. 그러니 홀수니 짝수니 하는 개념은 무한에는 어울리지 않아요.

최상위권 수학머리 만들기 ²⁰²²

• 수학은 ‘열쇠’(개념)를 이용해 ‘자물쇠’를 푸는 게임이다.
• 남의 풀이를 보는 것은 시간낭비이며, 결코 정답을 보지 말것.
  • 문제 풀이 수업은 듣지마라.
  • p59. 어쩔 수 없이 문제 풀이 수업을 듣더라도 문제 풀이 훈련이 아닌 개념 공부라는 자각을 해야 한다.
• 답지를 펼치는 순간 소중한 훈련의 기회를 박탈당한다.
  • 답지는 하나부터 열까지 꼼꼼히 볼 것 없다.
  • 답지를 보는 것은 개념 공부의 연속이다.
• 스스로 먼저 풀어보고 필요할시만 설명을 듣는다.
• 고난도 문제도 복잡한 조건을 차분히 걷어내면 얼마든지 풀 수 있는 평범한 문제다.
• 기억할 내용을 최소화하라.

아인슈타인이 괴델과 함께 걸을 때 ^{2018, 2020}

★★★★☆
전반적으로 문체가 매우 비판적이다. 유명한 위인들에 대해 한 번 더 생각해보는 형태로 기술되어 있다. 제임스 글릭처럼 매우 재능있는 작가로, 담대하고 까칠하다. 수학과 문학이 결합된 수필집으로도 볼 수 있다. ‘사고의 첨단을 찾아 떠나는 여행’이라는 부제가 잘 어울린다.

• p47. 정교한 수학적 처리를 배우는 능력이 수를 대충 다루는 능력과는 완전히 다른 뇌의 부분에 깃들어 있음을 이론적으로 밝혀냈다.
• p86. 우생학 ^eugenics이라는 단어는 ‘잘 태어난’이라는 그리스어 단어로부터 프랜시스 골턴이 20년 후 새로 만들어낸 용어다.
  • 본성 대 양육 ^{nature vs nurture}이라는 문구도 골턴이 처음 내놓음. 본성이 양육을 능가한다는 믿음.

6부부터 컴퓨터 시대를 주제로 초기 컴퓨터 선구자들에 대한 얘기가 나온다.

• p243. “해석기관이 뭐든 독창적으로 해낼 수는 없다. 어떻게 명령을 내려 실행할지 우리가 아는 것만 할 수 있다.”

  “The Analytical Engine has no pretensions whatever to originate anything. It can do whatever we know how to order it to perform.”

• p248. 컴퓨터가 정말로 필요하다는 인식은 제2차 세계대전 때 적의 암호 해독에 컴퓨터가 필수적으로 중요함이 입증되기 전 까지는 생기지 않았다. 그 시기에 결정적인 아이디어를 내놓은 사람은 앨런 튜링이었다. 블레츨리 파크의 콜로서스, ENIAC, 마크 I은 본질적으로 배비지 기계였다.
  이 중 ENIAC은 최초의 디지털 컴퓨터. world’s first electronic digital computer. 아타나소프의 ABC도 있지만 실제로 쓰이지 않고 창고 구석에 처박히는 운명이 되었다고 월터 아이작슨이 언급.
• p253. 어떤 추측이 참 또는 거짓인지 여부를 원리적으로 결정할 수 있을까? 결정 문제는 그런 추론이 타당한지를 결정할 기계적인 규칙 집합을 요구하는데, 그런 집합은 반드시 유한한 시간에 ‘예/아니오’의 답을 내놓을 수 있어야 한다.
• p261. 튜링에 따르면 다른 사람들이 의식이 있는지를 알아내는 유일한 방법은 자신의 행동을 그들의 행동과 비교하는 것인데, 기계를 다르게 취급할 이유가 없다.
• p273. 조지 다이슨이 2012년에 출간한 『튜링의 대성당』에 이런 내용이 나온다. “디지털 컴퓨터의 역사는 구약과 신약으로 나눌 수 있다. 라이프니츠가 이끈 구약의 선지자들은 논리를 제공했으며, 폰 노이만이 이끈 신약의 선지자들은 기계를 만들었다. 앨런 튜링은 그 둘 사이에 놓였다.”
• p276. 골수암에 걸려 죽음을 앞둔 폰 노이만은 카톨릭으로 개종해 가족을 당혹스럽게 만들었다. 딸은 아버지가 게임이론의 고안자답게 파스칼의 도박(신이 존재한다는 쪽에 거는 편이 유리하다)을 염두에 두었음이 틀림없다고 믿었다.
• p283. 1990년대에 런던 택시 운전사들의 뇌를 찍은 사진을 보면, 해마 뒷부분이 평균보다 더 컸는데, 그 직업에 종사한 햇수에 비례하여 크기가 컸다.
• p404. 몬티홀 문제에 대해 에르되시는 그렇지 않다고 자기 친구에게 주장했다. 그의 직관에 따르면 교체를 해도 승산에 아무런 차이가 없었다. 너무 확신한 나머지 벨 연구소의 한 수학자가 오류를 알려줄 때까지 여러 날 동안 계속 대단히 분개한 채로 지냈다.

미적분의 쓸모 ²⁰²¹

★★★☆☆
『수학의 쓸모』가 일반인을 위해 쉬운 내용으로 비유가 많고 독창적인 내용이 많지만, 이 책은 마치 교과서를 압축한 듯한 내용이라 사실상 『수학의 쓸모』와 연결시키기에는 무리가 있는 책이다. 교수님이 쓴 교과서의 약간 더 쉬운 버전 정도에 그친다.

자연현상을 설명하는 미분 방정식

• p132. 전자기장의 발산과 회전을 나타내는 네 개의 편미분방정식^{Partial Differentiation Equation}을 말한다.
• 슈뢰딩거 파동 방정식
• 블랙숄즈 방정식
• 감염확산 SIR 방정식
• 나비에-스토크스 유동 방정식

푸리에 변환

• p154. 푸리에 변환을 통해 시간 대역의 음성 신호와 주파수 대역의 음성 신호 변환이 가능하다. 제임스 쿨리와 존 터키는 고속 푸리에 변환 알고리즘 고안. 현재 푸리에 분석이 가장 활발하게 응용되는 분야는 데이터 압축 분야다.

뉴욕타임스 수학 ^{2013, 2017}

• 1999년 기사에 패턴 인식에 성공했다는 세바스찬 승 교수의 기사가 있다. 당시 런던 대학 소속이던 힌튼도 축하 메시지를 전달.
• p617, 1967년 기사. 러브레이스 부인 해석 기관 언급. “해석 기관에는 무언가를 창조하려는 야망이 전혀 없습니다. 하지만 우리가 실행하라고 명령하는 법을 안다면, 해석 기관은 그 무엇이라도 할 수 있습니다.”
  원문을 그대로 quote 했다면 번역이 다소 어색하다.

  “The Analytical Engine has no pretensions whatever to originate anything. It can do whatever we know how to order it to perform.”

• p645. 1992 부고 기사. 그레이스 호퍼의 y2k 언급. 2000년까지 살고 싶다는 말을 했다. “그때 가서 컴퓨터 초창기에 y2k에 관해 의구심이 많았던 사람들에게 ‘봤죠? 컴퓨터가 다 처리할 수 있을 거라고 했잖아요’라고 말하고 싶기 때문이에요”
• p682. 세상을 떠나면서 에르되시가 남긴 돈은 고작 2만5천달러 였으며 그나마 수학 발전을 위해 그 돈을 어떻게 쓸지 다른 수학자들과 협의할 생각이었다고 한다.

수학이 만만해지는 책 ^{2018, 2021}

구글은 어떻게 가장 빠른 길을 알아낼까

• 지도는 그래프 형태로 인식하고, 점 사이 구간의 교통 체증을 반영한다.
• 넷플릭스 영화 추천

세상을 바꾼 위대한 발견

우리에게는 수학의 피가 흐르고 있다

• 인간이 수를 어떻게 인식하게 되었는지, 손가락의 숫자 만큼 숫자를 인식한다.

모든 것은 필요에서 시작되었다

• 차변^{Debit Recorded}, 대변^{Credit Recorded}으로 나뉜 기원전 2000년경의 회계장부
• 인류 최초의 숫자들과 0의 표기

쉼 없는 변화의 과정을 측정하라

• 뉴턴과 라이프니츠의 진흙탕 싸움

불확실성 속 확실성

• 양성 판정이 암이 아닐 확률, Linear Regression, John Snow의 콜레라 발병 연구
• 상관 관계는 인과 관계가 아니다.

데이터에서 패턴을 읽는 법

• 그래프 알고리즘으로 한붓 그리기 문제 해결 사례 소개
• 다익스트라와 A* 알고리즘 소개, 페이지랭크
  • 출발지에서 목적지로 이동하는 경우만이 아니라 역방향, 즉 목적지에서 출발지로 거꾸로 이동하는 경우도 계산에 포함한다. 이 방법을 적용하면 컴퓨터는 두 방향을 번갈아가며 탐색하다가 중간에서 두 경로를 잇는다. 목적지에서 한 걸음, 출발지에서 한 걸음씩 이동하다가 중간에서 만나는 식이다. A* 알고리즘에서는 이러한 양방향 합산법이 가능하다. 서로 이어야 할 두 지점 사이의 거리를 계산하면 된다. p230
• 페이스북이 신경망으로 “내가 조만간 마쓰다 차 한대를 뽑을지 여부를 판별한다”라고 언급한다. 그러나 구체적인 방법은 나오지 않는다.
• 확증 편향을 주의하라. 모두 그래프 이론에 대해서만 소개한다.

수학은 어떻게 우리를 이롭게 하는가

• 오류와 편차
• 수학은 나날이 복잡해지는 요즘 같은 시대에 그 중심을 꿰뚫어볼 수 있는 다재다능한 도구다.

이토록 재미있는 수학이라니 ₂₀₂₀

• p10. 이 책에도 ‘수학책에 공식이 하나 더 추가되면 판매량이 반으로 줄어든다’는 얘기가 나온다. 또 다른 중국서인가 했는데 바로 아래 『다시, 수학이 필요한 순간』에서 한 얘기다.
• 첫 시작은 메르센 소수로.
• 소파상수 같은 유난히 기하학이 많이 나온다. 재미있으면서 직관적이고 이해하기도 쉬운 분야라 그런듯.
• 벤포드 법칙
• 단순히 RSA의 수학적 성질뿐만 아니라 https 전체 적용 원리에 대해 다룬다. 일반적인 수학책이라면 RSA에서 끝났어야 하는데, 이 부분은 오히려 IT 전문 서적에 가깝다.
• 알파고는 전형적인 바둑AI의 역사와 강화학습의 원리를 다룬다.
• 전반적으로 수학의 신비한 성질을 다루며, 난이도가 제법 높은 편이다.

세계 수학 걸작선 _{2017, 2019}

• p110. 정신나간 모자 보관소 직원, 푸아송 분포의 37%가 여기서도 보인다. 관람객의 수가 N명일때, 랜덤으로 모자를 둘려줄때 아무도 자기 모자를 되돌려 받지 못할 확률은 N이 얼마든 간에 37%다. \(\frac{1}{e}\)
• p312. ‘쌍곡기하학’을 얘기하면서 유클리드 공리 5가지를 소개한다.

다시, 수학이 필요한 순간 ²⁰²⁰

• p10. 스티븐 호킹은 『시간의 역사』에서 이렇게 말한다. ‘출판사에서 지적하기를 공식 하나 나올 때마다 판매량은 반으로 줄어든다고 했다. 그래서 공식을 하나도 안 넣기로 마음먹었다.’
• p31. 컴퓨터가 기하적 계산을 하는데 공식이 필요하다. 모든 기하학적인 관심사를 수로 바꿔야 한다. 컴퓨터는 그림을 볼 수 없기 때문.
• p34. 공리 ^axiom 강조. 책 전반에 공리를 지속적으로 강조
• p43. 관찰을 정제해가는 과정에서 운동법칙이라는 공리가 만들어졌을 것이며, 수학적 공리도 이와 비슷한 과정을 거친다.
• p50. 뉴턴의 프린키피아나 유클리드의 원론이 비슷한 점은 바로 거기 나오는 수학이 거의 기하학밖에 없다는 점이다. 뉴턴이 기하학적으로 이론을 펼친 이유는 기하학만이 믿을 수 있는 수학이라고 생각했기 때문인듯 하다.
• p63. \(\sqrt{2}\) 피타고라스는 유리수일 수 없는 무리수의 존재가 너무 충격적이었던 나머지, 이를 발견한 히파수스 ^Hippasus라는 제자를 죽였다고 한다.
• p77. 제논의 역설: 궁수가 과녁을 향해 화살을 쐈다. 화살이 과녁에 도달하려면 먼저 반을 나가야 한다. 그리고 또 반의 반을 나가야 하고, 반의 반의 반을 나가야 하고 … 그래서 화살은 ‘영원이 도달할 수 없다’
• p111. 칸트 역시 확실성에 대한 집착이 굉장히 강했던 것 같다. 그는 뉴턴역학도 선험적이라고 주장했다. 세상의 물체들이 어떻게 움직이는가를 공부하는데 지금 생각하면 말이 되지 않지만. (뉴턴이 이 이론을 기술한 양식이 공리 체계 같았고 기하학적으로 증명했기 때문에 선험적이라는 생각을 한 것일 수도 있다) 무엇보다 수학도 확실하지 않으면 확실성이 아무데도 없을 것 같다는 일종의 두려움이 있지 않았나 생각한다.
• p115. 『괴델, 에셔, 바흐』 개정판(초판은 1979년작) 서문에서 호프스태터는 최근 인공지능 연구가 인간의 의식에 관한 근본적인 질문들은 모두 잊어버린 채 기능적으로만 개발, 진행되고 있는 현실에 불만을 표했다. 하지만 인공지능 연구는 지난 몇 십 년 동안 공학 분야에서 훨씬 큰 성과를 거두었다. 이것이 바로 지능을 이해하려는 과학자와 지능을 만들어내려는 공학자의 차이를 보여주는 듯 하다. 호프스태터처럼 기본적인 질문을 하는 사람들도 있고, 기본적인 건 잊어버리고 창조적인 일을 하는 사람들도 있는 것이다.

4강 논리적 사고

• 삼단 논법을 비롯한 논리에 대해서도 고찰

5강 함수

• p204. 좌표 ^coordinate란 무엇인가. 좌표는 페르마와 르네 데카르트 ^{Rene Decaretes}가 만든 표현법으로 “나는 생각한다, 고로 존재한다”는 명언을 남긴 “방법서설 ^{Discourds de la Methode}“라는 책의 부록에 처음 등장. 좌표의 발명은 인류의 역사와 수학사에서 매우 중요한 사건이었다. 기하학을 언어로 명료하게 표현할 수 있는 개념적 틀이기 때문이다.

6강 수 없이 계산하기

• p253. 평면이나 공간상의 점들을 화살표로 생각할 때 이를 ‘벡터’라고 부른다. 원점이 주어진 상태에서는 점(Point?)과 화살표가 지닌 정보가 동일하다.

7강 차원이 다른 정보들

• 소리는 파동이다. 주파수로 분석하는 것에 대한 얘기들

8강 우주의 모양을 찾는 방정식

• 현실에 존재하지 않는 모양을 구성하는
• p352. 상대성이론의 영향을 받은 또 다른 예술가로 그리스 작곡가 이안니스 크세나키스 ^{Iannis Xenakis}를 들 수 있다. 작곡할때 확률론을 굉장히 많이 사용했다.
• p362. 현대 수학에서는 좌표를 이용해 기하학을 수로 표현하는 것이 굉장이 중요하다. 컴퓨터 때문이다.

9강 수학으로 세상을 본다는 것

• p389. 피타고라스 시대에 맞이하게 된 대수의 위기 “모든 것이 수”라고 설명하려던 노력이 수포로 돌아가자 대수 체계의 위기를 맞게 되고, 그 이후 수학적인 사고를 기하적으로 설명하고자 하는 추세가 지배적이 되었다. 그러다 17세기 기하를 대수적으로 바꾸어가는 과정이 체계적으로 진행되었고 시간이 흘러 지금은 대수적인 파운데이션이 수학의 주류를 이루고 있다.
• 기하와 대수의 정의는 아날로그와 디지털의 정의로 치환할 수 있을지? 실제로 김민형 교수님 강의 중 기하와 대수 어느것이 먼저인가?와 같은 강의도 있다.

세계를 바꾼 17가지 방정식

아래 내용은 수학 보다는 공학에 관한 내용들이라 추후 정리가 필요하다.

• 푸리에 변환
  가장 일반적인 형태에서, 푸리에 방법은 가능한 모든 진동수의 파동들을 조합한 함수 f를 가지는 신호를 나타낸다. 이것은 파동의 ‘푸리에 변환^{Fourier transform}‘이라고 불린다. 푸리에 변환은 원래 신호를 그 스펙트럼, 즉 사인 성분 함수와 코사인 성분 함수의 진폭들과 진동수들로 대체한다. 이는 동일한 정보를 다르게 부호화하는 작업으로, 공학자의 말을 빌리면 시간 영역에서의 신호를 진동수 영역의 신호로 변환하는 과정이라고 할 수 있다.

• 맥스웰 방정식
  영국의 물리학자 마이클 패러데이는 전자기의 기초 물리학을 건설했고, 스코틀랜드 과학자 클러크 맥스웰은 패러데이의 역학 이론에서 유도한 수학 방정식을 사용해 빛의 속도로 여행하는 전파^{radio wave}의 존재를 예측했다. 맥스웰은 패러데이가 전자기 유도의 발견을 발표한 바로 그해 1831년에 태어났다.

빛은 전자기파이며, 서로 다른 파장을 지닌 파동이다. 전체 전자기파 중에서 가시광선에 해당되는 파장은 인간의 눈으로도 감지할 수 있다.

독일의 과학자 하인리히 헤르츠는 1886년 전파를 생성하고 수신할 수 있는 기계를 만들어 전자기파를 탐지하는데 성공했으나 당시에는 라디오, 텔레비전, 레이다, 무선, 엑스선, 마이크로파 등으로 이어질 유용함을 알아차리지 못했다.

• 상대성 이론
  \(E=mc^2\)

물질의 에너지는 질량에 빛의 속도의 제곱을 곱한 것과 같다.

보통 사람을 위한 현대 수학

• 움직임 없는 운동
  기하학에 대한 설명. 피타고라스의 정리도 기하로 표현하면 누구나 이해하기 쉽도록 직관적으로 증명할 수 있다. 그러나, 유클리드는 그림보다 대수적 논리를 선호했다. 엄밀한 논리로 이루어진 몇 개의 단순한 원리로부터 기하학을 구축하고 싶었기 때문.
• 고급 연산으로 가는 지름길
  수체계와 모듈라 연산
• 집합의 언어
  집합과 벤다이어그램. 집합론과 논리학은 불가분의 관계에 있다.
• 함수란 무엇인가?
  \(y=f(x)\) 정의역, 공역, 치역과 전사 함수, 단사 함수 등 이산수학에서도 다루는 함수의 여러 개념을 소개한다.
• 추상대수학, 대칭과 군, 수 헤아리기: 유한과 무한, 위상수학, 위상불변량, 대수적 위상수학, 초공간
  해당 챕터는 개인적으로 관심있는 분야가 아니며, 관련 지식이 부족하다 보니 이해하기 어렵다. 추상대수학에서는 체,군,합동 등을 소개한다. 수 헤아리기는 경우의 수 ^{number of cases}를 예상했으나 함수, 무한연산 등 다소 상이한 내용을 다룬다.
• 공리
  수학은 ‘공리에 기초한 체계 ^{axiomatics system}‘이며, 유클리드의 『Elements』 원론에 등장한 기하학 공리가 유명하다.
• 간접적 사고의 위력
  그래프 이론을 다루며, 4색 문제를 언급한다.
• 선형대수
  연립 방정식을 기하학적으로 해석해 풀이할 수 있다. 영국의 수학자 아서 케일리(1821 ~ 1895)는 선형변환을 수학적으로 표현하는 좋은 방법을 개발했다. 행렬이다.
• 실해석학
  현대수학의 주춧돌로 무한급수와 극한, 미분, 적분과 같은 ‘무한대 처리법’으로 요약된다. 수학에서 온갖 어려움을 양산하는 무한대의 유령을 포획하여 길들이는 것, 이것이 바로 해석학에 주어진 임무이다.
• 확률이론
  확률의 이항정리 ^{binomial theorem}는 뉴턴이 발견했다. 이항정리를 더욱 강력한 형태로 표현한 대수의 법칙은 수학적 모형과 현실적 확률 사이의 관계를 보여주고 있다.
• 컴퓨터와 응용
  2진 표기법과 논리 회로 설계를 비유하여 설명한다. 여기서는 볼베어링 덧셈 계산기를 진리표를 작성해 만들어 본다. 컴퓨터 구조와 순서도를 소개한다.
• 현대수학의 응용
  17세기에 데카르트가 기하학과 대수학의 관계를 최초로 발견했을때 수학자들은 커다란 충격을 받았고, 19세기 초에 프랑스의 젊은 수학자 갈루아가 군론을 이용해 다항방정식을 풀었을 때에도 수학자들은 경악을 금치 못했다. 또한 20세기 초에 자크 아다마르와 샤를장 드 라 발레푸생이 해석학을 이용해 소수에 관한 추론을 증명했을 때에도 수학계는 한바탕 충격에 휩싸였다. 선형 프로그래밍으로 수리경제학 문제 풀이가 가능하다.

수학 공부의 재구성 ₂₀₁₉

문장 문제는 무조건 건너 뛰라고 조언한다. 수학적 함양을 기르는데 도움이 되지 않는다는 이유다. 하지만 실생활에 유용한 수학이라는 측면에서는 오히려 절대로 건너 뛰어서는 안되는 문제들이다. 실생활에서 수학은, 문제가 이미 정의되어 있기 보다는 문장을 정의하는데서 부터 시작하는 경우가 대부분이기 때문이다.

Last Modified: 2024/03/31 01:49:13